奇函数f(x)的定义域R，且在[0+∞）上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在实数m,

楼上写错了吧cos2θ-3>2mcosθ+4m ？
解：f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)
∵奇函数f(x)的定义域R
∴f(0)=0
原不等式可变为f(4m-2mcosθ)>f（3-cos2θ）
∵在[0+∞）上是增函数，且f（x）是R上的奇函数
∴f（x）在x∈R上是增函数
∴4m-2mcosθ＞3-cos2θ
∵θ∈〔0，π/2〕
∴m＞（3-cos2θ）/（4-2cosθ）对所有θ∈〔0，π/2〕的均成立
设2-cosθ=t，则t∈[1，3]
∴G（t）=-（t+2/t）+4≤4-2√2
∴m＞4-2√2
∴存在实数m＞4-2√2使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈〔0，π/2〕的均成立

奇函数f(x)的定义域R，且在[0+∞）上是增函数
所以f(x)在R上单调递增
易知f(0)=0
f(cos2θ-3)>f(2mcosθ+4m)，因为递增，直接打开
cos2θ-3>2mcosθ+4m
设cosθ=t，t∈(0,1)
换元，整理，t^2-mt+2m-2>0
分离变量，把(t-2)除过去，由于t有范围，所以过去要变号,m>(t^2-2)/(t-2)
令t-2=k,则t=k+2,k∈(-2,-1)
m>k+2/k+4
k+2/k≤-2√2
m>4-2√2
（汗。。楼下的看不懂？省略一步0，一步移项，一步奇函数变形，这些都是没有步骤分的）