高二不等式证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 10:30:46
设f〔x〕=x*+ax+b 〔a，b∈R〕 的定义域为〔-1，1〕
1〕设f〔x〕的最大值为M 求证M≥1/2
2〕在〔1〕中 当M=1/2时 求f〔x〕的表达式

解不等式
1/〔1-log2x〕≥1/〔1+log2x〕

已知关于x的实系数二次方程 x*+ax+b=0 有两个实数根p q
〕求证:若「p」＜2 「q」＜2 ,那么2「a」＜〔4+b〕 且 「b」＜4
〕求证:若 2「a」＜〔4+b〕 且 「b」＜4 那么「p」＜2 「q」＜2

条件1） f(x-4)=f(2-x)
a(x-4)^2 + b(x-4) = a(2-x)^2 + b(2-x)
a*(12-4x) = b(6-2x)
b = 2a

条件3）f(x)在R上的最小值为0.推出
a>0 且 b^2 - 4ac = 0
以 b = 2a 代入
4a^2 - 4ac = 0
a = c

综上 b = 2a = 2c > 0
f(x) = a(x^2+2x+1) = a(x+1)^2

条件1） 当x∈R时,f(x)≥x;
a(x+1)^2 ≥ x
ax^2 + (2a-1)x + a ≥ 0
因为 a>0 所以
x^2 + [(2a-1)/a] x + 1 ≥ 0
[x + (2a-1)/(2a)]^2 - [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
为保证在整个实数范围，即 即使 x+(2a-1)/(2a)=0 时，上不等式成立，必须有
- [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
[(2a-1)/(2a)]^2 ≤ 1
-1 ≤(2a-1)/(2a) ≤ 1
因为 a>0 所以
-2a ≤2a-1 ≤ 2a
a ≥ 1/4

条件2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)^2
a(x+1)^2 ≤ [(x+1)/2]^2
a ≤ 1/4

综上所述 a = 1/4 、b=1/2、c=1/4
f(x) = (x+1)^2/4