设函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)>0 .求证函数f(x)在R上是增函数.

设x＞0
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)-f(y)=f(x)＞0
又x＞0
所以x+y＞y
所以f(x)在R上是增函数

在R上任取x1<x2,则x2-x1>0
f(x1)-f(x2)
=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)
=-f(x2-x1),又因为x＞0时f(x)＜0
x2-x1>0,-f(x2-x1)>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
所以F[X]是R上的减函数

设x2>x1,则x2-x1>0

f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)>f(x1),
所以函数f(x)在R上是增函数.

你应该问问老师

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设x1>x2>0，则f(x1)>0,f(x2)>0
f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0得f(0)=0
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),f为奇函数
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0
所以f(x)在x>0时递增，由奇偶性x<0时f也递增，故f(x)是R上的增函数。