等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC，BD相互垂直，且AD=M，BC=N，求证：（M+N）（M+N）=4S梯形ABCD

证明： (修改）

过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E
则易知DE=AC,CE=AD，BE=BC+CE=m+n

因为ABCD是等腰梯形，所以对角线相等，BD=AC=DE
因为BD垂直AC，AC//DE，所以BD垂直DE
所以三角形BDE是一个等腰直角三角形

设BD=AC=x
由勾股定理有，(m+n)²=x²+x²=2x²
又梯形的面积为
S(ABCD)
=S(BCD)+S(ABD)
=S(BCD)+S(ACD)
=S(BCD)+S(CDE)
=S(BED)
=(1/2)×x×x
=(1/2)x²

所以：(m+n)²=4S(ABCD)