求证完全平方数一定能被3整除或被3除余1

证明：∵整数被3除，只有三种可能性，即余数为0、1、2
可以表示为3k、3k+1、3k+2
∵(3k)2=9k2=3(3k2)
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=9k2+12k+3+1=3(3k2+4k+1)+1
即被3除的任何整数平方后，只能是3n或3n+1的形式
∴形如3n+2的数不可能是完全平方数。
注意下面性质6

完全平方数的性质
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，

重要结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；