已知x+y+z=1/x+1/y+1/z=1, 求证:x, y,z中至少有一个是1
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/22 03:31:13
x+y+z=1/x+1/y+1/z=1, 求证:x, y,z中至少有一个是1
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x+y+z=1 ==> x+y=1-z -----(1)
1/x+1/y+1/z=1 ==>(x+y)/(xy)=1-1/z=(z-1)/z
因为x+y=1-z得:(1-z)/(xy)=(z-1)/z ------------(2)
若z=1,题目得证,
若z<>1,则(2)式两边处以(1-z)得:1/(xy)=-1/z
==>xy=-z ------------(3)
由(1)得:-z=x+y-1, 代入3得:
xy=x+y-1 ==>xy-x-y+1=0 ----------(4)
将(4)分解因式得: (x-1)*(y-1)=0
解得:x=1 或 y=1 问题得证
另外方法:
x+y+z=1 ==> x+y+z-1=0 --------(1)
1/x+1/y+1/z=1 ==> xyz-xy-yz-zx=0 --------(2)
(1)+(2)得:xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0
将左边进行因式分解得:
xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1
=(xyz-xy)+(-yz+z)+(-zx+x)+(z-1)
=xy(z-1)-y(z-1)-x(z-1)+(z-1)
=(z-1)(xy-y-x+1)
=(z-1)(x-1)(y-1)
=0
所以:x-1=0 或 y-1=0 或 z-1=0
即: x=1 或 y=1 或 z=1
问题得证
由题目可有:若z=1,显然可以;若z不等于1,则x+y=1-z,xy=-z. 考察t2-(1-z)t-z=0. 知其一根为1. 即x,y必有一个为1。
代数:已知X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/X,X Y Z互不相等,求X.Y.Z=?
已知:4x-3y-3z=0,x-3y+z=0.求(1)x:y:z,(2)[9(x的平方)+(9y)的平方]/z的平方.
已知4x-3y+6z=0 x+2y-7z=0 则x-y+z/x+y-z=?
已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,且x,y,z为互不相同的正数,求证:xyz=1
已知x^(1/2)+(y-1)^(1/2)+(z-2)^(1/2)=1/2(x+y+z),求x,y,z的值
已知3x-z=x+y+z=4x+2y-z,求x : y : z
已知:x+1/y=1,y+1/z=1,求证:z+1/x=1
已知x+y+z=1,求证x^2+y^2+z^2≥1/3. 怎么做啊
已知x+y+z=1,求3x^2+4y^2+5z^2的最值
已知x<=y<z.|x+y|+|y+z|+|z+x|=4,|x-y|=|y-z|=|z-x|=2