设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0

设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0
证明 构造一次函数,f(x)=(b+c)x+bc+1, ｜x｜<1.
它的图像是一条线段，且不包括两个端点，[-1,f(-1))] 和[1,f(1)]. 若能证明其两个端点的函数值f(-1) 和f(1) 均大于0, 则对定义域内的每一点x,f(x) 恒大于0.
因为｜b｜<1,｜c｜<1，则
f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)*(c-1)>0，
f(1)=b+c+bc+1=(b+1)*(c+1)>0.
所以f(a)=a(b+c)+bc+1>0。证毕.

构造函数f(a)=bc+ca+ab+1=(b+c)a+bc+1
因为|a|<1,|b|<1,|c|<1
所以-1<a<1,-1<b<1,-1<c<1
b+1>0，b-1<0
c+1>0，c-1<0

f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)>0
所以f(a)>0对任意a∈(-1,1)都成立
即当|a|<1,|b|<1,|c|<1时，bc+ca+ab+1>0成立

我能给出最简单的做法！

a+b,b+c,c+a这三个数中，有抽屉原则知，必有两个同正负（0人未遇任何数同正负）

不妨设 a+b，a+c同正负，则(a+b)(a+c)>=0

另一方面 1-a^2>0

所以 ab+bc+ca+1= [a^2+a(b+c)+bc] + (1-a^2) =(a+b)(a+c)+(1-a^2)>0