请教一个关于数学积分的问题

换元积分法和分部积分法结合
先分部积分：
∫[arcsin(e^x)]/e^x dx
＝－∫[arcsin(e^x)] d[e^(-x)]
＝－e^(-x)×arcsin(e^x)＋∫e^(-x)×1/√[1-e^(2x)]×e^xdx
＝－e^(-x)×arcsin(e^x)＋∫1/√[1-e^(2x)]dx
再换元：令e^x＝sint，则
∫1/√[1-e^(2x)]dx＝∫1/sint dt＝ln|csct－cott|＋C＝ln|e^(-x)－√(1-e^(2x))/e^x|＋C＝－x＋ln|1－√(1－e^(2x))|＋C
所以
∫[arcsin(e^x)]/e^x dx＝－e^(-x)×arcsin(e^x)－x＋ln|1－√(1－e^(2x))|＋C

分部积分法解答