3次函数的单调区间问题

设a,b∈R且a<b
f(a)-f(b)
=(-a³+1)-(-b³+1)
=b³-a³
=(b-a)(b²+ba+a²)
=(b-a)[(b²+ba+(a²/4))+(3a²/4)]
=(b-a)[(b+(a/2))²+(3a²/4)]
因为a<b，所以b-a>0，又(b+(a/2))²+(3a²/4)>0
所以(b-a)[(b+(a/2))²+(3a²/4)]>0
即f(a)-f(b)>0，f(a)>f(b)
所以对于函数f(x)=-x³+1，自变量越大，函数值越小
所以f(x)=-x³+1在R范围内是减函数

f(x)=a|x-b|+2在(-∞,0)上为增函数
所以图象的对称轴x=b在x=0的若侧，所以b>0
当x<0时，|x-b|=-x+b
f(x)=-ax+ab+2，此时函数为增函数
所以-a>0，a<0
因此，由a<0，b>0可知，点(a,b)位于第二象限

求f(x) = -x^2+2ax+1 在[0 ,2] 上的最大值
f(x)=-x²+2ax+1=-(x-a)²+1+a²
函数图象开口向下，对称轴是x=a
分三种情况讨论
（1）a<0时
x=0时函数取最大值，最大值是f(0)=1
（2）0≤a≤2时
x=a时函数取最大值，最大值是f(a)=1+a²
（3）a>2时
x=2时函数取最大值，最大值是f(2)=4a-3

设a,b∈R且a<b
f(a)-f(b)
=(-a³+1)-(-b³+1)
=b³-a³
=(b-a)(b&su