函数凸性问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 10:28:11
证明：曲线y=(x-1)/(x^2+1)有三个拐点位于同一直线上

由于答案过程很麻烦，所以会有50分悬赏分
另外答得很详细清楚的会有追加分
谢谢解答

取f(x)=(x-1)/(x^2+1)的二阶导数
f''(x)=2*(x^3-3x^2-3x+1)/(x^2+1)^3
则拐点满足x^3-3x^2-3x+1=0
三个根分别是-1，2+根号3，2-根号3。
带入y=(x-1)/(x^2+1)求出三个点，分两次取两个点证明斜率相等就成了。

先对原式求两次导，y的二阶导数为
2（x^3-3x^2-3x+1）/（x^2+1）^3
因为求拐点，所以根据数学性质
只需上式分子为零即可
x^3-3x^2-3x+1=0
因式分解得，（x+1）(x^2-4x+1)=0
所以x=-1 或 x=2+（根号17）/2 或 x=2-（根号）/2
然后带入计算，对应的y值，便可证了