力学综合

地面上一固定的半圆形圆柱面，它的斜上方P处有一质点。过P点的竖直线恰好圆相切于O点。已知半圆形圆柱面半径为3M。PO＝6M。现要确定一条从P到圆柱面的光滑斜直轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到圆柱面上所经历的时间最短。求该斜直轨道与竖直方向的夹角大小，并计算最短时间值。
用解析几何来做，代数式十分烦。
据说这题很经典，有没有简单的步骤？

限于百度知道画图困难，我谈谈我的看法。

你假设现在这个轨道和竖直线夹角为a，根据解析几何的知识，你可以求出这个轨道和圆的交点，再求出轨道的长度。

接着利用牛二律和运动学知识表示出t的函数关系。

再利用数学知识求极值。也许还要对结果做出进一步的判断。

这样的思路应该可以解决这个问题。我刚才想有没有简单方法。

因为这个题目中的圆虽然不常见，但是，斜面却是常见的。

解：建立以O'半径为r的“等时圆”与圆心为O半径为R的半圆柱面相切，且使PO'Q在同一竖直方向上，

(R+r)sinα=R     (R+r)cosα=H-r

(R+r)2=R2+(H-r)2      r=2m

sinα=R/(R+r) =0.6   α=37°