⊙O切△ABC边AB于点D,切AC于C,M为BC上一点,AM交DC于点N,求证:M是BC上中点的充要条件是ON⊥BC

偶花了很大力气很不优美地证出来了。而且用了高中知识，lz慎入
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(1)M是BC中点<=>ABN的面积=ANC的面积<=>AB*DN=AC*NC(过N分别向AB AC作垂线，注意角ADC=角ACD)<=>b/c=DC/NC-1=2bsin(A/2)/NC-1<=>NC=2bcsin(A/2)/(b+c)

(2)ON⊥BC<=>NCcos角DCB=OCcos角OCB(因为这样的话，N O在BC上的垂足就必须重合)<=>NCcos(90°-A/2-B)=btan(A/2)cos(C-90°)<=>NC=btan(A/2)sinC/sin(A/2+B)=2bsin(A/2)sinC/(2cos(A/2)sin(A/2+B))<=>NC=2bsin(A/2)sinC/(sinB+sin(A+B))=2bcsin(A/2)/(b+c)

所以，M是BC上中点与ON⊥BC的充要条件都是2bcsin(A/2)/(b+c)。从而M是BC上中点<=>ON⊥BC

注：以上a=BC,b=AC,c=AB为约定俗成的简记法

由ON⊥BC证M是BC上中点
连接BO交CD于P，连接MP，OD
由于⊙O切△ABC边AB于点D,切AC于C
所以角C=90，O在AC上，PD=PC
所以NO//BC
所以PC/PN=BC/ON=BM/MN
所以PC/PN-1=BM/MN-1
即（PD-PN）/PN=（PC-PN）/MN=（BM-MN）/MN
即DN/PN=BN/MN
所以MP//AB，而P是CD中点
所以M是BC上中点

由M是BC上中点证明ON⊥BC
由于P也是中点
所以MP//AB
所以AO/OM-2=AB/MP-2=（AB-2MP）/MP=（AB-AD）/MP=BD/MP=BN/MN
所以AO/