抽象函数的一道题

F(x)=f(x)-f(2-x),若F(x1)+F(x2)>0
有f(x1)-f(2-x1)+f(x2)-f(2-x2)>0
f(x1)+f(x2)>f(2-x2)+f(2-x1)
所以必定有f(x1)>f(2-x2)
或者f(x2)>f(2-x1)
函数f(x)是R上的单调增函数
即必定有x1>2-x2 或x2>2-x1
即：x1+x2>2

补充：所以必定有f(x1)>f(2-x2)
或者f(x2)>f(2-x1)
如果理解不了，就用反证法：
若F(x)=f(x)-f(2-x),F(x1)+F(x2)>0
有f(x1)-f(2-x1)+f(x2)-f(2-x2)>0
f(x1)+f(x2)>f(2-x2)+f(2-x1)

假设：x1+x2≤2
x1≤2-x2 x2≤2-x1
函数f(x)是R上的单调增函数
则；f(x1)≤f(2-x2)
f(x2)≤f(2-x1)
所以：f(x1)+f(x2)≤f(2-x2)+f(2-x1)
而f(x1)+f(x2)>f(2-x2)+f(2-x1)
所以假设不成立
x1+x2>2

你好！
这道题目直接证明存在一定困难或者说服力，所以考虑用反证法较好！
（楼上的直接证明也存在一点难以有很强说服力的一步）
反证法：假设：x1+x2≤2
则有 x1≤2-x2 ， x2≤2-x1
因为函数f(x)是R上的单调增函数，
所以有 f(x1)≤f(2-x2) ， f(x2)≤f(2-x1)
两式相加即有 f(x1)+f(x2)≤f(2-x2)+f(2-x1)
移项有 f(x1)-f(2-x1)+f(x2)-f(2-x2)≤0 ,
又F(x)=f(x)-f(2-x)得
F(x1)=f(x1)-f(2-x1),F(x2)=f(x2)-f(2-x2)
带入前面的式子有