H.E.杜登尼 蜘蛛和苍蝇 的问题

蜘蛛和苍蝇（2）
如果蜘蛛在一个开口的圆柱形玻璃容器的外面，苍蝇在容器的里面。该容器底面周长为100cm，高80cm，蜘蛛A和苍蝇B在同一个轴截面上，蜘蛛离开顶部40cm(图5—31)，苍蝇在圆柱底部，于是蜘蛛要逮住苍蝇必须先爬到圆柱顶部，再进入圆柱容器里面，然后去擒获苍蝇。由于容器是透明的，所以蜘蛛对苍蝇的所在地已一清二楚，所以事先对应爬行的路线早已心中有数，用最合理的方案一举使苍蝇落网，你能说出爬行的路线，以及爬行路线的长度吗?
解：设想把圆柱底面拿去，再把圆柱纵向剪开摊平(图5—32)。
由于我们已有上题的经验，所以容易想到可能要利用“两点问所连的线中，线段最短”这个几何事实。但虽然图形已展开，却不能直接连A、B，因为A、B两点被玻璃所隔开。
从展开图上，我们可以看出，问题是怎样在 上定出一点，使这一点与A的连线以及与B的连线的长度的和为最小。
要判断 上的点Q是否符合要求，我们将借助于B点关于 的对称点B′（具体可以过B作 的垂线，设与 交与C，再延长BC至B′，使CB′＝BC，由此得B′点)。这时要判断AQ十QB是否符合要求，只需要改变为判断AQ十QB′符合要求就可以了，因为B、B′关于 对称，必有QB＝QB′。显然AQ、QB′恰在一条直线上时，AQ十QB′＝AQ十QB将最小，由此我们得到求出符合题意的点的方法。
1.作出B点关于 的对称点B′(具体方法已介绍)；
2.再连AB′，设与 相交于P，那么P也就是我们要求的点。
计算爬行路线的长度需用勾股定理，过A作AD⊥BB′，垂足是D，AD等于底圆周长的一半，又因B′C＝BC＝80cm，CD＝40cm，所以B′D＝120cm，于是在直角△AB′D中， （cm）。 即AP+PB＝130cm。
想一想，本题中符合条件的点P可以有几个？