证明:当n属于z且n的3次=9q+r (0=<r<=9)时,r只可能是0,1,8

假设n=9x+y,x，y都是整数，于是n^3=(9x+y)^3
=(9x)^3+3*(9x)^2*y+3*9x*y^2+y^3，除了最后一项，之前都可以表达为9的倍数，既是题中的9q,至此，我们就要讨论y^3,分别为y=1,...,8
y=1,显然成立
y=2，2^3=8,ok
y=3,9=>余数为0，ok
y=4,64=>余数为1，ok
y=5,125=>余数为8，ok
y=6,8*27=>余数为0，ok
y=7,343=>余数为1，ok
y=8,512=>余数为8，ok

所有情况讨论完毕，此题已证！

另，如果假设n=3x+y,会大大减少证明过程，方法类似！不过只需要讨论3种情况。我想这个是个比较好的解法，也给出，（一开始上来冲动了，没有怎么思考）
n^3=(3x+y)^3
=(3x)^3+3*(3x)^2*y+3*3x*y^2+y^3
同理，除了最后一项，其余的都是9的倍数
讨论y，y只可能是0，1，2
y=0,rest=0
y=1,rest=1
y=3,rest=8
over!

因为n^3=r(mod9),而n=0,1,-1(mod3)所以n^3=0,1,-1(mod9)=0,1,8(mod9)
所以r=0或1或8

你不是问过了？关闭吧