1/6+1/24+1/60+......+1/999900的解法

解此类分数分母逐次增大的单位分数相加的题型主要使用的有两种方法，一是拆分分母法，二是错位相减法，每种方法都是根据题型所给的单位分数的规律来选择适用的方法，如本题就是使用拆分分母法。
观察分母的规律：
6=1×2×3
24=2×3×4
60=3×4×5
....
999900=99×100×101
由此可联系到最简单的连续两个自然数积为分母的形式：1/【a×（a+1）】=1/a-1/（a+1）
本题所做方法就是将此题最终转化为这种形式的计算式。
∵1/（1×2）-1/（2×3）=3/（1×2×3）-1/（1×2×3）=2/（1×2×3）

∴1/（1×2×3）=【1/（1×2）-1/（2×3）】×1/2
同理：
1/（2×3）-1/（3×4）=4/（2×3×4）-2/（2×3×4）=2/（2×3×4）
∴1/（2×3×4）=【1/（2×3）-1/（3×4）】×1/2
则本题计算方法如下：
1/6+1/24+1/60+...+1/999900
=1/（1×2×3）+1/（2×3×4）+1/（3×4×5）+...+1/（99×100×101）
=【1/（1×2）-1/（2×3）】×1/2+【1/（2×3）-1/（3×4）】×1/2+【1/（3×4）-1/（4×5）】×1/2+...+【1/（99×100）-1/（100×101）】×1/2
=1/2×【1/（1×2）-1/（2×3）+1/（2×3）-1/（3×4）+1/（3×4）-1/（4×5）+...+1/（99×100）-1/（100×101）】
=1/2×【1/（1×2）-1/（100×101）】
=1/2×（1/2-1/10100）
=1/2×（5050/10100-1/10100）
=1/2×5049/10100
=5049/20200

原式
=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+……+1/(99*100*101)
=1/2*(1/1*2 -1/2*3 + 1/2*3 - 1/3*4 +……+1/99*100 - 1/100*101)<