大一的高数题目

我们知道
e=1+1/1!+1/2!+...+1/n!+... (*)
如果是有理数，那么它可以写作e=p/q。把(*)式两边乘q!，
p(q-1)!=q!(1+1/1!+1/2!+...+1/q!)+q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
上式的左边是整数，右边第一部分也是整数，所以右边第二部分
R = q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
也是应该是整数。可是
R = 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+1/(q+1)(q+2)(q+3)(q+4)+.
..
= (1/(q+1))(1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+1/(q+2)(q+3)(q+4)+...)
< (1/(q+1))(1+1/(q+1)+1/(q+1)^2 +1/(q+1)^3 +...)
由等比数列和公式，
R < (1/(q+1))(1/(1-1/(q+1)))
= (1/(q+1))((q+1)/q)
= 1/q
另外R>0。所以R不能是整数。矛盾，证毕。

貌似数论里的题…………
我好像在课本里看过，不过忘了……