【10分】初三一道数学题（关于三角形的相似）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 11:41:36
已知如图梯形ABCD，AD平行BC，AC与BD交于O点，过O且平行于两底的直线分别交两腰AB和DC于E,F。求证1/AD +1/BC = 2/EF
(据说这是一个三角形相似里的一个很典型的题目）
图：http://hi.baidu.com/guoxiaotong6/album/item/de5df3d2b1359fc5a9ec9ade.html

在三角形ABC中，可知EO/BC=AO/AC=DF/DC
在三角形BCD中，可知OF/BC=DF/DC
在三角形ABD中，可知EO/AD=BO/BD=FC/DC
在三角形ACD中，可知OF/AD=FC/DC
四式相加可得：
EF/BC+EF/AD=2
从而：
1/BC+1/AD=2/EF
此外，从证明中可以发现一个结论：OE=OF

根据相关三角形相似可得：

AD/BC=EA/EB=DF/FC

还是根据相关三角形相似

EO/AD=BE/AB=BE/（BE+EA）=BC/（BC+AD）……（1）
OF/AD=CF/CD=CF/（CF+FD）=BC/（BC+AD）……（2）

由（1）得EO=BC×AD/（BC+AD）
由（2）得OF=BC×AD/（BC+AD）

EF=EO+OF=2×BC×AD/（BC+AD）

求倒数可得
1/AD +1/BC = 2/EF