在三角形ABC中求sinAsinBsinC的最大值

很简单，二元函数求极值问题
答案：sinAsinBsinC≤3(根号3)/8

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证明：
因为A+B+C=180,C=180-(A+B)
所以sinC=sin(A+B)
构造二元函数y=f(A,B)=sinAsinBsin(A+B)
要使y=f(A,B)取极值，则y对A的一价偏导数和对B的一阶偏导数都要为0
对A的一价偏导数
fA(A,B)
=cosAsinBsin(A+B)+sinAsinBcos(A+B)
=sinB[cosAsin(A+B)+sinAcos(A+B)]
=sinBsin(2A+B)=0
因为sinB≠0，所以要使偏导数为0，必有sin(2A+B)=0
由此得2A+B=180
同理对B求一阶偏导可得到2B+A=180
联解A，B组成的二元一次方程组解得,A=60,B=60
易检验，当A=B=60时，y取得极大值
y(max)=f(60,60)=sin60sin60sin(60+60)=3(根号3)/8
所以sinAsinBsinC≤3(根号3)/8

解:sinAsinBsinC<=(sinA+sinB+sinC)^3/27(均值不等式）
<={3sin[(A+B+C)/3]}^3/27（琴生不等式,y=sinx在(0,π)上为凸函数）
=[sin(π/3)]^3=3√3/8
当且仅当A=B=C=π/3时等号成立。