高一题一道

设方程x^2+p1x+q1=0的判别式为Δ1，x^2+p2x+q2=0判别式为Δ2
Δ1+Δ2=(p1^2-4q1)+(p2^2-4q2)=p1^2+p2^2-2p1p2=(p1-p2)^2≥0
则Δ1≥0或者Δ2≥0
故至少有一个方程有实数根

Δ1-Δ2=(p1^2-4q1)+(p2^2-4q2)=p1^2+p2^2-2p1p2=(p1-p2)^2>=0，两式和大于等于0，即两式中至少有一个要大于等于0，所以至少有一个方程有实数根

假设两方程均无实根，则可知0=<p1^<4q1; 且0=<p2^<4q2
两式相乘得16q1.q2>(q1.q2)^
由已知得（p1.p2)^=4(q1+q2)^,代入上式得16q1.q2>4(q1+q2)^,整理得
4（q1-q2)^<0，可知矛盾，故原假设不成立，可知至少有一方程有实解。