设G为三角形ABC的重心,三角形ABC内的点Q在边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F,证当Q与G重合时QD*QE*QF最大

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 10:30:09
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证明：
设QD=x,QE=y,QF=z为三射影线段的长度，
a,b,c分别为三角形三条边。
很明显有三角形面积
S=(1/2)(ax+by+cz)
对上式用均值不等式：
S>=(3/2)(abcxyz)^(1/3)
即：xyz<=(2S/3)^3/abc为最大值。
等号成立当且仅当
ax=by=cz
即三角形AQB、BQC、CQA面积相等
AQ延长线过BC中点
BQ延长线过AC中点
所以Q是ABC的重心，与G重合。

设三角形ABC的重心是G,各边中点为D,E,F,求向量GD+向量GE+向量GF的和 三角形ABC的重心为G,AG=6,BG=8,CG=10,求ABC的面积 已知G是三角形ABC内一点。求证：向量GA+向量GB+向量GC=0是G为三角形ABC的重心的充要条件。 在三角形ABC中，O为外心，G为重心，R为外接圆半径。试用R的代数式表示AB^2+BC^2+AC^2+OG^2 若G是三角型ABC的重心~O为空间一点~求证向量OG=三分之一（向量OA+向量OB+向量OC） 三角形ABC的外心为O,重心为H,求证，向量OH=OA+OB+OC 设a,b,c为三角形ABC的三边长 在rt三角形ABC中，g为重心，则5倍GA平方=GB平方+GC平方 已知三角三个顶点的坐标分别为(2.1) (1.0) (30)求 三角形ABC的面积？ G为三角形ABC的重心,过G作DE//分别交AB,BC于D,E,再过E作FE//AB交AC于F,