微积分证明题

应该说是数学分析证明题.
证明:
对任意给定的正常数k1,k2,令t=k1/(k1+k2),则1-t=k2/(k1+k2)
且0<t<1
设F(x)=f(x)-tf(x1)-(1-t)f(x2)
并且不妨设f(x1)>f(x2), (小于的情况类似)
则F(x1)=(1-t)[f(x1)-f(x2)]>0.
F(x2)=t[f(x2)-f(x1)]<0.
于是由零点定理,存在ξ∈（x1,x2）
F(ξ)=f(ξ)-tf(x1)-(1-t)f(x2)=0
化简后可知ξ为所求证的ξ.
同样可以证明f(x1)<f(x2)的情况.
若f(x1)=f(x2),则令ξ=x2,就满足了.
综上,得证.

设M=max f(x) m= min f(x)
m<k1f(x1)+ k2f(x2)/(k1+k2)<M
由介质定理可得

研究这个常数[k1f(x1)+ k2f(x2)]/(k1+k2)
显然它是的值介于f(x1),f(x2)之间（容易验证）
由介值性定理，至少存在一点ξ，使得f(ξ)=[k1f(x1)+ k2f(x2)]/(k1+k2)
即：k1f(x1)+ k2f(x2)=(k1+k2)f(ξ)