已知a,b,c属于正R,求(aˇbˇ+bˇcˇ+cˇaˇ)/a+b+c大于等于abc

因为a,b,c为正实数，故可利用均值不等式。题中a,b,c有可能相等，过程中要带等号。

由均值定理可得：
a^2b^2+b^2c^2≥2ab^2c
故：（a^2b^2+b^2c^2)/2≥ab^2c …①
同理可得：(a^2c^2+b^c^2)/2≥abc^2 …②
（a^2b^2+a^2c^2)/2≥a^2 bc …③
① +② +③得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ≥ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
从而a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
即：（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）/(a+b+c) ≥abc.

关于均值不等式：a,b均为正实数，则有a+b≥2√(ab)，当a=b时取等号。

由均值定理可得：
a^2b^2+b^2c^2≥2ab^2c
故：（a^2b^2+b^2c^2)/2≥ab^2c …①
同理可得：(a^2c^2+b^c^2)/2≥abc^2 …②
（a^2b^2+a^2c^2)/2≥a^2 bc …③
① +② +③得：
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ≥ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
从而a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
即：（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）/(a+b+c) ≥abc.