什么是康多赛悖论？

1785年Condorcet发现了著名的“投票悖论”问题。1951年Kenneth Joseph Arrow则在其《社会选择与个人价值》一文中证明了“不可能定理”，指出在三个或三个以上的备选对象中，社会成员可以自由地按任何方式对它们排序，因此，没有任何一种投票方法能解决“投票悖论”问题。这一结论引发了一系列的讨论，因为它直接动摇了人类数千年来公共选择的理论基础，更动摇了思想启蒙运动的根本信念。为此，Amartya Sen在1970年发表了《集体选择与社会福利》，从放宽效用的可度量性原则出发，证明了“投票悖论”的可解决性，并指出：“如果个人效用是可度量的，则Arrow不可能定理不再成立；如果个人效用不可度量，则Arrow不可能定理什么也没有说”。这就是“投票悖论”的现实状态。对于这个问题，本文将进行限于公共选择方面的讨论，对“投票悖论”进行证明，同时还证明只要在合理的简单偏好连续性与可判定性条件下， “投票悖论”对公共选择的结果没有影响。

一、“投票悖论”的存在

“投票悖论”的描述：给定3个备选项A、B、C，给定一个决策集共有n个决策者，当决策集中各决策者对A、B、C的偏好分布均衡时，多数决策原则不能得出唯一偏好占优的集体决策结果。其中，偏好也称选择性偏好，反映了决策者对备选项的喜好程度，此程度决定了决策者对备选项的排序。
上面的表述还可以用一个例子具体化：假设认为A最优的决策者占决策者总数的1／3，且A的拥护者又分为两派，一派占A的全部拥护者的2／3，他们认为B优于c，另一派占A的全部拥护者的1／3，他们认为C优于B；认为B最优的决策者占决策者总数的1／3，且B的拥护者又分为两派，一派占B的全部拥护者的2／3，他们认为C优于A，另一派占B的全部拥护者的1／3，他们认为A优于C；认为C最优的决策者占决策者总数的1／3，且C的拥护者又分为两派，一派占C的全部拥护者的2／3，他们认为A优于B，另一派占C的全部拥护者的1／3，他们认为B优于A。在这一实例中，每一个决策者都是理性的，具有完全的偏好。但是，决策集作为一个整体就不具有完全的偏好，而且在多数原则下，决策集的偏好与决策路径相关。事实上，先用A与B相比，总有A优于B，再用A与C比，则C优于A，于是C胜出。可以看出，没有任何一个备选