设函数F(X)=lg(X+根号里(x^2+1)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/22 20:20:06
(2)判断函数F(X)的奇偶性:
(3)证明函数F(X)在其定义域上是单调增函数.
帮帮忙
要是很详细我剩下的100分都给你们.
谢谢
(1):因为√(X^2+1)>√X^2=|X|,所以X+√(X^2+1)恒大于0,所以X∈R。
(2):F(X)=lg[X+√(X^2+1)],F(-X)=lg[-X+√(X^2+1)]
所以F(X)+F(-X)=lg{[X+√(X^2+1)]×[-X+√(X^2+1)]}=lg[(X^2+1)-X^2]=lg1=0
即F(-X)=-F(X),所以F(X)为奇函数。
(3):F'(X)=[1+X/√(X^2+1)]/[X+√(X^2+1)]=1/√(X^2+1)>0,所以F(X)在X∈R上是单调增函数。
f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
解:
1.函数f(x)=lg[x+√(x^2+1)]有意义
只需x+√(x^2+1)>0
因为x+√(x^2+1)=1/[ √(x^2+1)-x]
又x^2+1>x^2恒成立
故√(x^2+1)>x
从而√(x^2+1)-x>0
故x+√(x^2+1)=1/[ √(x^2+1)-x]>0恒成立
故f(x)的定义域为R.
2.f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(-x)=lg[-x+√((-x)^2+1)]=lg[-x+√(x^2+1)]
f(x)+f(-x)=lg{[x+√(x^2+1)][-x+√(x^2+1)]}=lg[(x^2+1)-x^2]=lg1=0
所以f(-x)=-f(x)
且f(x)的定义域是R
所以f(x)是奇函数
3.设x1<x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)