对勾函数y=x+a/x在(0,正无穷)上的单调性,并给出证明.

显然，因为x>0,
利用不等式可以知道当x=a/x时，取得最小值
此时x=根号下a
分开讨论0<x<根号下a和x>根号下a
设有0<x1<x2<根号下a
则x1+a/x1-(x2+a/x2 )
=（x1-x2）[1-a/(x1x2)]
可见0<x1<x2<根号下a时 ,则显然x1x2<a
a/(x1x2)>1
则1-a/(x1x2）<0，而x1-x2<0
所以x1+a/x1-(x2+a/x2)>0
则在0<x<根号下a单减

同理，当根号下a<x1<x2时
1-a/(x1x2）>0.而x1-x2<0
所以x1+a/x1-x2+a/x2<0
则在x>根号下a单增

可以同理讨论证明a<0的情况