帮我看看这一句话有没有问题

没有问题的,这里是分词形式做状语,只要后面的主语和分词保持一致就可以了
句子就等于
We can have more time to read when (we are) taking two lessons everyday.

NO PRO

不用,Taking two lessons everday 是个-ing 引导的分句,不是一个完整的句子
so that:是连接连接句与句的