一道初三数学题，请帮忙解答

第二题 存在这样的PQ

过C做CD垂直AB，交AB于点D，交PQ于点E
因为 AB=5，BC=3，AC=4
所以 AB^2=BC^2+AC^2
所以 角ACB=90度
因为 CD垂直AB
所以 AC*BC=AB*CD
因为 AB=5，BC=3，AC=4
所以 CD=12/5
因为 要使三角形PQM为等腰直角三角形，则PQ=2ED
因为 PQ//AB
所以 PQ/AB=CE/CD
因为 PQ=2ED，AB=5，CE=CD-ED，CD=12/5
所以 ED=60/49
因为 PQ=2ED
所以 PQ=120/49

已知：在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ平行AB，点P在AC上，（与点A，C不重合），点Q在BC上（1）……（2） 在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长

解：存在这样的PQ和M，作法如下：
倚边AB在△ABC外作等腰直角△ABD，连结CD交AB即得点M，然后作MP‖AD交AC于P，MQ‖BD交BC于Q。
显然，这样作出的△PQM与△ABD是以C为中心的位似形，故同为等腰直角三角形。相似比λ=CM/CD。（位似形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比）
古典的直角三角形△ABC中 ，C到AB的高h1=3×4/5=12/5
等腰直角△ABD中，D到AB的高h2=AB/2=5/2
显然λ=CM/CD=h1/(h1+h2)=24/49
所以PQ=λAB=5·24/49=120/49

三角形ABC为直角三角形，角C=90度
该三角形AB边上的高为 3*4/5 = 12/5

存在一点M使三角形PQM为等腰直角三角形
作EM垂直PQ交PQ于点E，作CF垂直PQ交PQ于点F并交AB于点H
设PQ长度为x
三角形PQM中，PQ边上的高EM为x/2
三角形CPQ中，PQ边上的高CF为(12/5)-(x/2)