高等数学（关于闭区间连续函数的性质）

一。
设m和M分别为[x1,x2]上的最小值和最大值，
u =[k1f(x1)+k2f(x2)]/(k1+k2)<=
[k1M+k2M]/(k1+k2)=M,
同理u>=m,即m<=u<=M，
由最值定理知，
在[x1,x2] 内至少存在一点ξ , 使得
k1f(x1)+k2f(x2)=(k1+k2)f(ξ),
所以在(a,b) 内至少存在一点ξ , 使得
k1f(x1)+k2f(x2)=(k1+k2)f(ξ).
二。
令g(x)=f(x+π)-f(x),
g(π)=f(2π)-f(π)
g(0)=f(π)-f(0),
f(2π)=f(0),所以g(π)g(0)<0,
由零点定理即得结果

具体什么定律记不清了，好象是零点定律，你自己可以套一下
1。要证明命题，就是证明g(x)=（k1+k2)f(x)-k1f(x1)-k2f(x2)有零解
也就是存在两点,使得函数值乘积小于零，那它肯定穿过x轴，就肯定有零解
整理得：g(x)=k1[f(x1)-f(x)]+k2[f(x2)-f(x)],取x=x1，得g(x1)=k2[f(x2)-f(x1)],取x=x2，得，g(x2)=k1[f(x1)-f(x2)],则g(x1)*g(x2)=-k1k2[f(x1)-f(x2)]^,k1>0,k2>0,所以g(x1)*g(x2)>0,你自己去找定律吧，得证。
2。这题也差不多，也就是证明：g(x)=f(x+π )-f(x)有零解，我门在[0，2π ]上证明，这个比较方便，分别取x=0,x=π ,得到g(0)=f(π )-f(0),g(π )=f(2π)-f(π),周期函数有f(0)=f(2π ),则g(0)*g(π )=-[f(π )-f(0)]^<0,完毕，供你参考

用罗尔中值定理证啊

小子不思考问题哈，