直线y=kx+b经过点M（1，√3）和点N（-1，3√3），A,B是此直线与坐标轴的交点，以线段AB为直径作圆C

因为 直线y=kx+b经过点M（1，√3）和点N（-1，3√3）
所以 y=-√3x+2√3
因为 A,B是此直线与坐标轴的交点
所以 A(2,0)，B(0,2√3)
因为 AO垂直BO
所以 角BOA=60度，角BCO=120度
因为 AO=2，BO=2√3，AO垂直BO
所以 AB=4，BC=2
因为 BC=AC
所以 三角形BOC的面积=1/2三角形BOA=√3
因为 BC=2，角BCO=120度
所以 扇形BCO=120/360*4*π=4/3π
因为 三角形BOC的面积=√3
所以 阴影部分的面积=4/3π -√3

直线y=kx+b经过点M（1，√3）和点N（-1，3√3)
即，√3=k+b,3√3=-k+b,解得，k=-√3,b=2√3
故y=-√3x+2√3
故它与坐标轴交点坐标是A(0,2√3)、B(2,0)
以线段AB为直径作圆C
则AB中点坐标就是点C（即圆心）坐标（1，√3)
且半径r=AB/2=2
故，圆的标准方程是
（x-1)^2+(y-√3)^2=4
令x=0,y=0或y=2√3
所以，圆C被y轴截得线长EF＝2√3
过点CD垂直于EF，垂足为D
则sin角CDE＝DE/EC＝1/2,角CDE=60度，角ECF=120，CD=1
所以，扇形CEF面积＝4派×120/360=4派/3
三角形CEF＝EF×CD/2=√3
所以阴影部分面积＝扇形CEF面积－三角形CEF＝4派/3－√3