高中三角函数及向量问题

解：(1)∵a=(sinx+cosx,√2cosx),b=(sinx-cosx,√2sinx).
且a⊥b
∴a•b＝(sinx+cosx) (sinx-cosx)＋√2cosx√2sinx)
＝(sinx)^2-(cosx)^2+2sinxcosx
=sin2x-cos2x=√2sin(2x-∏/4)=0
∴2x-∏/4=k∏,
∴x= k∏/2+∏/8(k∈Z)
(2) 由（1），得，f(x)=a•b=√2sin(2x-∏/4)，周期为∏
令2k∏+∏/2≤2x-∏/4≤2k∏+3∏/2
解得，k∏+3∏/8≤x≤k∏+7∏/8
∴单调区间是[k∏+3∏/8,k∏+7∏/8]((k∈Z)
(3) g(x)=丨a丨^2
=(sinx+cosx)^2+(√2cosx)^2
=1+2sinxcosx+2(cosx)^2
=2(cosx)^2-1+2sinxcosx+2
=cos2x+sin2x+2
=√2sin(2x+∏/4)+2
所以，将g(x) =√2sin(2x+∏/4)+2向下平移2个单位
变成y=√2sin(2x+∏/4)；
再将y=√2sin(2x+∏/4)= √2sin[2(x+∏/8)]图像向右平移∏/16个单位，
变成y=√2sin[2(x+∏/8-∏/16)]= √2sin(2x-∏/4)
即可得到f(x)= √2sin(2x-∏/4)

（1）：a*b=0,所以（sinx+cosx)*(sinx-cosx）+2sinxcosx=0,
所以-cos2x+sin2x=0所以x= ∏/8+k ∏/2(k=0,1...);
(2): A=更号2
F(x)=A（A/2sin2x-A/2cos2x)=Acos(2x+∏/4)
....