一道乘法题

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6.....2003*2004
可以推到出:An=n(n+1)=n^2+n
那么：A1+A2+A3+A4....An=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)....+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+4^2+.....n^2)+(1+2+3+4+5+......n)
=[n(n+1)(2n+1)/6]+[(1+n)n]/2
如上：将n=2003代入上式子可得：
[2003*2004*4007]/6+[2004*2003]/2=2682698020
上式中前半部分证明如下，后半部分为等差数列（公式：[(a1+an)*n]/2)
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
证明:
由两数立方和公式:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3 -1^3=3*1^3 +3*1 +1^3
以上等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1)
∴3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n
=(n+1)(n^2+2n-3n/2-n)
=(n+1)n(n+1/2)
=n(n+1)(2n+1)/2.
∴1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.

An=n(n+1)=n^2+n
每一项都可分成两项，所有项的和，也都可分成两部分之和
原式=(1^2+2^2+3^2+……+2003^2)+(1+2+3+……+2003)
=2003*2004*2005/3
=2682698020

1×2+