在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 19:55:49
（1）如果点P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF。
（2）如果点P是BC上任意一点（中点除外），PE//AB，PF//DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

证明：
1) 在三角形ABC中，
P、E分别是BC、AC的中点，
所以PE//AB PE=1/2AB(中位线定理)
同理PF=1/2CD
因为AB=CD，所以PF=1/2AB
所以AB=PE+PF
2）依然成立，证明如下：
由PE//AB，PF//DC
知在三角形BCD和三角形ABC中
PE/AB=PC/BC；PF/DC=BP/BC
两式相加
PE/AB+PF/DC=（PC+BP）/BC=BC/BC=1
即PE/AB+PF/DC=1
由AB=DC PE+PF=AB
所以成立

（1）证：取AB中点G，连结EG，
则BG‖PE且BG＝PE＝1/2AB
同理，取CD中点H，连结CH，
则CH‖PF且CH＝PF＝1/2CD
∵AB＝CD
∴PE＋PF＝1/2AB＋1/2CD＝2（1/2AB）
＝AB
（2）证：作EG‖AD，FH‖AD
∵PE‖AB，PF‖CD
∴PE‖BG且PE＝BG，PF‖CH且PF＝CH
∵AB＝CD
∴PE＋PF＝AB

三角形中位线定理