UC知道高数证明无穷大的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 17:53:52
作业中一个证明无穷大的不解：
根据定义证明：当x->0时 函数f(x)=(1+2x)/x 是无穷大。
我自己是这么证的
给定任意X(无论多大)，欲使 |f(x)|>X .
只需 1/|x|+2 > 1/|x| >X 1/X>|x| 即可 问题出在这里 答案书上是这么证的
只需 1/|x|>X+2 即 1/X+2/|x|即可 然后取￡ 后面 找出￡再按照定义完整叙述一变 ，后面这部分自己和答案一样
问题就是 为什么是 1/|x|>X+2 ？ 移项后不是 X-2么？
还有用放缩直接利用1/|x|>X不就可以得出￡么？由不等式性质可以证明完， 为什么是X-2?
麻烦各位给解答一下谢谢！
根据定义证明：当x->0时 函数f(x)=(1+2x)/x 是无穷大。
我自己是这么证的
给定任意X(无论多大)，欲使 |f(x)|>X .
只需 1/|x|+2 > 1/|x| >X 1/X>|x| 即可 问题出在这里 答案书上是这么证的
只需 1/|x|>X+2 即 1/X+2/|x|即可 然后取￡ 后面 找出￡再按照定义完整叙述一变 ，后面这部分自己和答案一样
问题就是 为什么是 1/|x|>X+2 ？ 移项后不是 X-2么？
还有用放缩直接利用1/|x|>X不就可以得出￡么？由不等式性质可以证明完， 为什么是X-2?
麻烦各位给解答一下谢谢！
你的证法似乎有点问题 忽略了x为负数的情况 x为负数时1/|x|+2>|f(x)|
实际上你把|f(x)|给放大了
答案里的1/|x|>X+2是这么来的
给定任意X(无论多大)，欲使 |f(x)|>X
只需证明存在x,
使 |(1+2x)/x|>X 即|1/x+2|>X 即1/x+2>X或1/x+2<-X
即1/x>X-2或1/x<-X-2
只需证明存在x 使1/x>X-2或1/x<-(X+2)
只需证明存在x 使1/x>X+2或1/x<-(X+2)
只需证明存在x 使1/|x|>X+2
可能是因为x->0分左边趋于零和右边趋于零，式子1/|x|>X+2可能是统一式子。
其实就是把|f(x)|进行缩小，因为由绝对值不等式|f(x)|=|1/x+2|>=1/│x│-2
所以要使 |f(x)|>X即 |1/x+2|>X，只要1/│x│-2>X就可以了（充分非必要条件），所以1/|x|>X+2 ,|x|<1/(X+2)=δ即证。
因为证明极限时，不要求找到能满足 |f(x)-A|<ξ的x的最大邻域半径δ，只要δ充分小就可以了。