已知函数f(x)=alnx+1/x

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/05 04:28:30
(1)当a>0时，求f(x)的单调区间和极值
(2)a>0时，若对任意的x>0,均有ax(2-lnx)<=1 ，求实数a 的取值范围

显然，原函数的定义域为 x>0

（1）令f'(x)=a/x-1/(x^2)=0
得极值 x0=1/a

且当x>x0时，f'(x)>0，f(x)递增
当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)递减

（2）ax(2-lnx)<=1可化解为f(x)>=2a
题意即要求：a>0时，若对任意的x>0，f(x)>=2a恒成立。

利用单调性和极值，必须f(1/a)>=2a.
(f(x)可想象成类似于开口向上的抛物线，最小值在1/a处取得)
所以aln(1/a)+a>=2a
ln(1/a)>=1
a<=1/e

所以a的取值范围为 0<a<=1/e

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