a+b+c=1 ，求证√（13a+1）+√（13b+1）√（13c+1）≥2+√14

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 21:25:04
请问一下二楼：√X +√Y ≥ 1 + √(X+Y-1)是怎么证明的？

少条件，a，b，c应非负，
设
X=（13a+1）
Y=（13b+1）
Z=（13c+1）
=>
X+Y+Z=16
X,Y,Z>=1
下证：
√X +√Y >= 1 + √(X+Y-1)
<=>
2√XY >= 2√(X+Y-1)
<=>
XY - X - Y + 1>=0
<=>
(X-1)(Y-1)>=0
同理：
√（X+Y-1) + √Z >= 1 + √(X+Y+Z-2)
( (Z-1)(X+Y-1 - 1)>=0)
所以
√X+√Y+√Z
>= 1+√X+Y-1 +√Z
>= 1 + 1 + √(X+Y+Z-2)
= 2 +√14

注意到取等号的条件:a b c中1个1，2个0
所以，我们注意不等式(√（13a+1）-1)(√（13a+1）-√14)<=0
即(1+√14)√（13a+1）>=13a+1+√14
同理得到关于b c的两个不等式
然后3个不等式相加得(1+√14)*欲证式左边>=13(a+b+c)+3+3√14=16+3√14
即欲证式左边>=(16+3√14)/(1+√14)=右边

13a+1+13b+1+13c+1=13(a+b+c)+3=16
令13a+1=A……即A+B+C=16
求证式两边平方（用倒推法）
得√AB+√AC+√BC≥1+2√14
因为A+B=16-C≥2√AB 即√AB<=8-C/2
同理……
所以要证√AB+√AC+√BC≥1+2√14
只需证8-C/2 +8-B/2 +8-A/2≥1+2√14
即24-8=16≥1+2√14

得证