角平分线长的证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 10:59:18
谁能帮我证明一下:三角形内角平分线的平方，等于两条邻边的乘积，减去对边被角平分线分成的两条线段的积。

好像要用到一个定理：三角形两边的平方和，等于第三边平方的一半，加上第三条边上中线平方的两倍。
哪位高手帮我看看怎么做，先谢谢了！

三角形ABC，AP为∠A平分线
AP=t,AB=c,AC=b,BC=a,PC=X,BP=A-X=y
b/c=x/y=x/(a-x)
x=ab(b+c),y=ac/(b+c)
cos∠APB=-cos∠APC
余弦定理：
(x^2+t^2-b^2)/(2tx)=-(y^2+t^2-c^2)/(2ty)
整理：
(x+y)t^2=(xc^2+yb^2)-xy(x+y),x+y=a
t^2
=(xc^2+yb^2)/a-xy
=bc(b+c)/(b+c)-xy
=bc-xy
即：
AP^2=AB*AC-BP*PC
所以：
三角形内角平分线的平方，等于两条邻边的乘积，减去对边被角平分线分成的两条线段的积