求数列的表达式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/01 03:14:13
已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2)
1)求Sn的表达式
2）设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项和Tn

Sn^2=an(Sn-1/2)，观察一下，[S(n-1)+an]^2=an[S(n-1)+an-1/2],整理一下得
an=[-S(n-1)^2]/[S(n-1)+1/2],
又由Sn^2=an(Sn-1/2）可得an=Sn^2/(Sn-1/2)
所以[-S(n-1)^2]/[S(n-1)+1/2]=Sn^2/(Sn-1/2)，移项后可得
Sn^2*S(n-1)+1/2Sn^2=-Sn*S(n-1)^2+1/2S(n-1)^2 =>
1/2[Sn^2-S(n-1)^2]=-Sn*S(n-1)^2-Sn^2*S(n-1) =>
1/2(Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]=-SnS(n-1)[Sn+S(n-1)] =>约去同因子，再2边同时除以SnS(n-1)得，
1/Sn-1/S(n-1)=2，再熟悉不过的式子了，累和就能得到答案了。
1/Sn-1/S(n-1)=2,
1/S(n-1)-1/S(n-2)=2,
...................
1/S2-1/S1=2
所以1/Sn-1/S1=2(n-1),得Sn=1/(2n-1)
第二问自己求吧，我要吃饭了啊！