凹凸性定理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/19 19:32:42
高数中 曲线凹凸性定理 是确定凹凸性的 可不可以到过来用 用凹凸性去得出那个不等式 如果可以说明为什么或原因的出处
为什么可以 倒过来 你没说啊 书上好像是没这么说过的但答案上写因为具有凹凸性 再得出那个等式成立 与书上的意思恰好相反 为什么呢

可以， 如果F（x）在（a,b）上有连续的2阶导数，且f''(x)>0(或f''(x)<0)
则f(x)在（a,b）是凹的（或凸的），则f[(a+b)/2]<[f(a)+f(b)]/2, (或 f[(a+b)/2]>[f(a)+f(b)]/2)

在证明某些不等式时，如果等式两边出现f(a/2+b/2)和f(a)/2+f(b)/2时，可以考虑使用凹凸性证明，可以简化证明。

例如： 证明xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/2 (x>0,y>0,x不等于y)
设f(x)=xlnx, f'(x)=lnx+1, f''(x)=(1/x)>0
根据凹凸定理，f[(a+b)/2]<[f(a)+f(b)]/2
即可得结论。

你的意思如果是用凹凸性 去证明f[(a+b)/2]<[f(a)+f(b)]/2(或 f[(a+b)/2]>[f(a)+f(b)]/2)的话，我建议你在去好好看看书，曲线的凹凸性，就是由这两个不等式定义的，而 f''(x）和0的关系是由凹凸性得到的特征，你怎么能反过来？