江苏省第二十一届初中数学竞赛初三年级(第二试)第11题 在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M、N为怎么

连接AC
因为 AM垂直BC，AB=13，BM=5
所以 AM=12
因为 AM垂直BC，MC=9，AM=12
所以 AC=15
因为 AM垂直BC，AN垂直CD
所以 角AMC+角ANC=90+90=180度
所以 AMCN四点共圆
所以 角MNC=角MAC
因为 AC=15，MC=9，AM垂直BC
所以 sin(角MNC)=sin(角MAC)=MC/AC=3/5
因为 在平行四边形ABCD中 DC//AB
所以 角MCN=180-角ABM
所以 sin(角MCN)=sin(角ABM)
因为 AB=13，AM=12，AM垂直BC
所以 sin(角MCN)=sin(角ABM)=AM/AB=12/13
因为 在三角形MCN中 由正弦定理有 MN/sin(角MCN)=MC/sin(角MNC)
因为 sin(角MCN=12/13，MC=9，sin(角MNC)=3/5
所以 MN=180/13

MC＝9,AD＝9－5＝4
ND＝5×4／13＝20／13
NC＝13＋20／13＝189／13
cosC＝20／13）／4＝5／13
AM²＝（189／13）²＋9²－2×（189／13）×9×5／13
＝191.7159.
AM＝13.846.

由于AMCN四点共园，
所以角MAN与角MCN互补，角AMN=角NCA(即角DCN)
而平行四边形中，角ADC也与角MCN(即角BCD)互补
所以角MAN=角CDA

所以三角形AMN与三角形DCA有两对角都相等，两个三角形相似。

直角三角形AMB中，AB=13，BM=5，所以AM=12.
直角三角形AMC中，AM=12 MC=9,所以AC=15
DC=AB=13

在相似三角形中，MN/CA=MA/CD
MN/15=12/13
MN=180/13