UC知道数学高手来帮我解释下(在追20分)
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 15:24:30
题目是:是否存在R上的函数f(x),g(x),使得对所有的x∈R,有f(g(x))=x^2
g(f(x))=x^3?
答案是这么写的:假设这样的函数f(x),g(x)存在,由g(f(x))=x^3,可知当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2),特别是f(0) f(1) f(-1)是三个不同的实数.
另一方面,由题设要求,可得(f(x))^2=f(g(f(x)))=f(x^3).取x=0 1 -1 则有f(0)=(f(0))^2 f(1)=(f(1))^2 f(-1)=(f(-1))^2.因此f(0) f(1)
f(-1)只能是0或1.这一矛盾说明这样的函数f(x) g(x)不存在
我的问题是:为什么(f(x))^2=f(g(f(x)))=f(x^3).看不懂请高手说明一下让我看懂.
g(f(x))=x^3?
答案是这么写的:假设这样的函数f(x),g(x)存在,由g(f(x))=x^3,可知当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2),特别是f(0) f(1) f(-1)是三个不同的实数.
另一方面,由题设要求,可得(f(x))^2=f(g(f(x)))=f(x^3).取x=0 1 -1 则有f(0)=(f(0))^2 f(1)=(f(1))^2 f(-1)=(f(-1))^2.因此f(0) f(1)
f(-1)只能是0或1.这一矛盾说明这样的函数f(x) g(x)不存在
我的问题是:为什么(f(x))^2=f(g(f(x)))=f(x^3).看不懂请高手说明一下让我看懂.
题目已知道告诉我们g(f(x))=x^3所以f(g(f(x)))=f(x^3)，然后由f(g(x))=x^2可以得到(f(x))^2=f(x^3)就是将x用f(x)替换
在f(g(x))=x² 中取x=f(y)得
f(g(f(y)))=f(y)², -----------------------------------------------(1)
将上式中的变元y换成x即为 f(g(f(x)))=f(x)²,------------------------(2)
(2)式左边外层括号中的g(f(x))按题设是等于x³ ，代入（2）式即得
f(x)²=f(x³).