AB是半圆O的直径,过A、B两点做⊙O的弦

⑴思路：应用反推法，AB^2=AC^2+BC^2(勾股定理），然后根据△ADP∽△BCP,进行等量代换，即可解决。
具体过程：
AB^2=AC^2+BC^2（勾股定理）
∵AC=AP+CP,∴AB^2=（AP+CP）^2+BC^2=AP^2+2(AP*CP)+CP^2+BC^2
∵△BCP为直角三角形，∴CP^2+BC^2=BP^2,∴AB^2=AP^2+2(AP*CP)+BP^2
∵∠C=∠D,∠CPB=∠DPB,∴△ADP∽△BCP,∴AP:DP=BP:CP,∴AP*CP=DP*BP,
∴AB^2=AP^2+AP*CP+DP*BP+BP^2=AP(AP+CP)+BP(DP+BP)=AP*AC+BP*BD,
即：AB^2=AP*AC+BP*BD
⑵：结论同（1），解题思路相似。
连接AD,BC.
则有：AB^2=AD^2+BD^2（勾股定理）
△ADP、△BCP均为直角△，∴AD^2=AP^2-DP^2
∵DP=BP-BD,∴AD^2=AP^2-(BP-BD)^2=AP^2+2BP*BD-BP^2-BD^2,
∴AB^2=AP^2+2BP*BD-BP^2-BD^2+BD^2=AP^2+2BP*BD-BP^2
∵BD=BP-DP,带入上式，得：AB^2=AP^2+2BP（BP-DP）-BP^2=AP^2-2BP*DP+BP^2
∵△ADP、△BCP相似（直角+角P),∴BP:CP=AP:DP,∴BP*DP=CP*AP,
∴AB^2=AP^2-CP*AP-BP*DP+BP^2=AP(AP-CP)+BP(BP-DP)=AP*AC+BP*BD
即：AB^2=AP*AC+BP*BD