11、若扇形的周长为定值l,则扇形的圆心角为 时,扇形的面积最大。

若扇形的周长为定值L,则扇形的圆心角为 时,扇形的面积最大
解:设扇形的半径为R,由弧长为:L-2R
扇形的面积为:S=1/2(L-2R)R=1/2LR-R^2
整理可得:2R^2-LR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=L^2-16S>=0
即:S<=L^2/16,也就是说,扇形面积有最大值:S=L^2/16
此时:△=0
R=-b/(2a)=L/4 即:L=4R 此时弧长为:L-2R=4R-2R=2R
所以,圆心角为:2R/R=2
即,圆心角为2时,扇形的面积最大

设扇形的半径为r，则扇形弧长为l-2r.
扇形的面积S=(1/2)*r*(l-2r)=-r*r+(1/2)*l*r=-(r-l/4)^2+l^2/16
所以扇形的面积最大为l^2/16.