关于函数局部有界性

领域是指足够小的范围，无论有多小都可以。

用数学语言表达是：
如果f（x）在x0点连续，对于任意小的正实数e（一般标准的用希腊字母小西格玛表示），都有f（x）在（x0-e,x0+e)内部有界。

下面是证明：

因为函数f（x）在x0点连续的定义是：对于任意一个正实数A，都存在一个正实数e，当|x－x0|<e时，恒有|f（x）－f（x0）|< A

那么显然，在（x0-e,x0+e)区域内，f（x0）-A < f（x) < A + f（x0）

有界的定义就是在（a,b）内，m< f（x）< M

故由函数连续得出在某个领域有界的结论。

大概写写就是这样，不学高等数学好多年了，数学语言中可能会有点瑕疵，与楼主共勉。

想了想，再加几句吧，方便你理解。
这个命题的含义就是，如果函数在某点连续，那么在某点一定有一个领域，这个邻域中函数是有界的。
通俗点说，如果在这点附近取了一个范围，函数不能满足有界，那继续缩小范围，当范围小到一定程度，在这个范围里面函数是有界的。

就是随便一个邻域

某邻域就是存在这样一个邻域
这句话完整说下来就是：
如果函数f在某点连续则存在该点的某个邻域使得f在这个邻域内有界。
虽然f在该点连续，但不一定在该点的所有邻域都有界，因为如果取该点的邻域半径比较大的话，可能在这个邻域内就无界了
由于在某点连续反映的是在该点很小的范围内的性质，所以只能是在很小的邻域内有界，而要说明函数在很小的邻域内有界，用数学语言表达出来就是上面那个定理了

没有特殊要求