一道高中竞赛题

假设能相等，则有3^a-3^c=7^d-7^b
不妨设a>c,d>b
则3^c(3^(a-c)-1)=7^b(7^(d-b)-1)
易知：3^c=7^(d-b)-1;
3^(a-c)-1=7^b;
都是两边一奇数一偶数，不可能
所以A

一道高中竞赛题
悬赏分：50 - 离问题结束还有 14 天 23 小时
当a≠b,c≠d时，P=3的a次方+7的b次方，Q=3的c次方+7的d次方，abcd均为自然数，则（ ）
A. P和Q一定不相等 B.仅有一组abcd的值使P=Q
C.有有限组但多于一组abcd的值使P=Q
D.有无穷多组abcd的值使P=Q

存在无数种解
当a≠b,c≠d时,
可以令a=c≠b=d,于是有无数种解.
比如a=c=1,b=d=2,就是其中一组解.

3^a+7^b=3^c+7^d
3^c(3^(a-c)=7^d(7^(b-d)-1)
由于37互质
3^(a-c)-1=7^d
7^(b-d)-1=3^c
相减3^(a-c)+3^c=7^d+7^(b-d)
很明显左边可以被3整除,而右边7=2*3+1
被3除不管你愿意还是不愿意一定是1+1=2
不可能
所以不存在,除非a=b,c=d