关于函数一致连续的证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 11:03:04
证明：若f(x)在[a,+∞)上连续，又当x→+∞时f(x)存在且有限，则f(x)在[a,+∞)上一致连续。

设limf(x)=L。
任取ε>0，存在正数M，使得当x≥M时，|f(x)-L|<ε/2，即对于x,y≥M，
|f(x)-f(y)|=|(f(x)-L)-(f(y)-L)|≤|f(x)-L|+|f(y)-L|<ε.
所以f(x)在[M,+∞)上是一致连续的。
另一方面，因为f(x)是连续函数，所以它在闭区间[a,M+1]上也是一致连续的。
综上所述，f(x)在整个[a,+∞)上一致连续。