已知扇形的周长定值为m,问:扇形的圆心角为何值时,扇形面积最大?最大为多少?在线等答案

解:设扇形的半径为R,则弧长为:m-2R
扇形的面积为:S=1/2(m-2R)R=1/2mR-R^2
整理可得:2R^2-mR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=m^2-16S>=0
即:S<=m^2/16,也就是说,扇形面积有最大值:S=m^2/16
此时:△=0
R=-b/(2a)=m/4 即:m=4R 此时弧长为:m-2R=4R-2R=2R
所以,圆心角为:2R/R=2
即,圆心角为2时,扇形的面积最大

设扇形的半径为R，圆心角为a，
为了便于计算，设A=aπ/360，则可列方程为：
扇形周长：2AR+2R=m，R=m/2（A+1）；
扇形面积：AR^2=A*〔m/2(A+1)〕^2，
可知当A=1时，扇形面积最大，为m^2/16；
则aπ/360=1，得出圆心角a=360/π。