证明抛物线 在任何区间永远符合中值定理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 02:34:03
设抛物线为y=kx^2(k为非零常数),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上任意两点
y'=2kx=(y1-y2)/(x1-x2)=k(x1^2-x2^2)/(x1-x2)=k(x1+x2)
x=(x1+x2)/2
所以命题成立
详细一点谢谢! zxj_123
k(x1^2-x2^2)/(x1-x2)哪来的 为什么
k(x1+x2)哪来的 为什么

中值定理：函数f（x）在区间[a，b]可微、则在该区间上必存在ξ，使
f（a）-f（b）=f'（ξ）（a-b）
∴f（x1）-f（x2）=f'（x）（x1-x2）
f'（x）=[f（x1）-f（x2）]/（x1-x2）=（y1-y2）/（x1-x2）
其中x∈[x1，x2]
又∵y'=f'（x）=（kx^2）'=2kx……………………………（1）
且y1-y2=f（x1）-f（x2）=kx1^2-kx2^2=k（x1^2-x2^2）=k(x1+x2)*(x1-x2)
∴(y1-y2)/(x1-x2)=k(x1^2-x2^2)/(x1-x2)=k(x1+x2)*(x1-x2)/(x1-x2)
=k(x1+x2) ……………………………………………………（2）
由（1）（2）得、f'（x）=k(x1+x2)=2kx
∴x=(x1+x2)/2

A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上任意两点
y1=kx1^2
y2=kx2^2
y1-y2=k(x1^2-x2^2)=k(x1+x2)(x1-x2)
所以
y'=2kx=(y1-y2)/(x1-x2)=k(x1^2-x2^2)/(x1-x2)=k(x1+x2)