若x,y,z均为实数，且14(x^2+y^2+z^2)=(x+2y+3z)^2,求x:y:z的值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 17:17:59

14(x^2+y^2+z^2)=(x+2y+3z)^2
14(x^2+y^2+z^2)=x^2+4y^2+9z^2+4xy+6xz+12yz
13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xy-12yz=0
4x^2-4xy+y^2+9x^2-6xy+z^2+9y^2-12yz+4z^2=0
(2x-y)^2+(3x-z)^2+(3y-2z)^2=0
因为任意一个数的平方大于等于0
所以
2x-y=0 y=2x
3x-z=0 z=3x
3y-2z=0 2z=3y

所以x:y:z=x:2x:3x=1:2:3

因为14(x^2+y^2+z^2)=(1+4+9)(x^2+y^2+z^2)
>=(x+2y+3z)^2 (柯西不等式）
取等条件为x/1=y/2=z/3
所以x:y:z=1:2:3

令x/z=a,y/z=b
原式化为13a^2+10b^2+5-4ab-6a-12b=0

再化为（2a-b）^2+(3a-1)^2+(3a-2)^2=0

所以，a=1/3,b=2/3

故x:y:z=1:2:3