2cosB=cosA+cosC,b^2=ac，abc是三角形的边，ABC是其角，怎么证明三角形是正三角形？

余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB=ac
a^2+c^2=ac(2cosB+1)
由a^2+c^2>=2ac
ac(2cosB+1)>=2ac
cosB>=1/2
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2>=1/2
sinB/2<=1/2①
另一方面
2cosB=cosA+cosC
[和差化积]
2cosB=cos[(A-C)/2]cos[(A+C)/2]
2cosB=cos[(A-C)/2]cos[(π-B)/2]
2cosB=cos[(A-C)/2]sin(B/2)
<=1*(sinB/2)
[2倍角公式]
1-2(sinB/2)^2<=sin(B/2)
2(sinB/2)^2+sin(B/2)-1>=0
sin(B/2)<=-1 or sin(B/2)>=1/2
因为π/2>B/2>0 sin(B/2)>0
所以sin(B/2)>=1/2②
由得①②得sin(B/2)=1/2 B/2=π/6 B=π/3
取等号条件①为a=c
取等号条件②为cos[(A-C)/2]=1 (A-C)/2=0 A=C
所以A=C=π/3
所以此三角形是等边三角形

问题错误，应该是证明正直角三角形吧？